Método del factor integrante para resolver ecuaciones diferenciales lineales de primer orden: Resolución de un ejemplo paso a paso

Resuelve la siguiente ecuación lineal de primer orden
\[ xy' + 4y = x^3 - x \]

Solución:

Dividimos toda la ecuación diferencial entre \(x\):

\[ y' + \frac{4}{x}y = \frac{x^3}{x} - \frac{x}{x} \]

\[ y' + \frac{4}{x}y = x^2 - 1 \]

Buscamos el factor integrante para ecuaciones diferenciales lineales de primer orden:

\[ FI = e^{\int \frac{4}{x} dx} = e^{4 \ln|x|} = e^{\ln|x^4|} \]

\[ FI = x^4 \]

Multiplicamos toda la ecuación por el factor integrante \(x^4\):

\[ x^4 y' + x^4 \cdot \frac{4}{x} y = x^4 (x^2 - 1) \]

\[ x^4 y' + 4x^3 y = x^6 - x^4 \]

Reescribimos el lado izquierdo:

\[ \frac{d}{dx}(x^4 \cdot y) = x^6 - x^4 \]

Separamos variables:

\[ d(x^4 y) = (x^6 - x^4) dx \]

Integramos a ambos lados de la ecuación:

\[ \int d(x^4 y) = \int (x^6 - x^4) dx \]

\[ x^4 y = \frac{x^7}{7} - \frac{x^5}{5} + C \]

Despejamos \(y\) para determinar la solución final:

\[ y = \frac{x^3}{7} - \frac{x}{5} + \frac{C}{x^4} \]

Recuerda que este ejercicio es una guía metódica, la practica personal es la que te hará ir adquiriendo habilidades en la soluciones de este tipo de ecuaciones diferenciales.



Bibliografía:


Colegio Nacional de Matemáticas (2009). Matemáticas simplificadas, 2ª ed. México: Pearson educación.
D. G. Zill. Ecuaciones diferenciales con aplicaciones de modelado. Sexta edición: International Thomson editores, 1997.

I.Carmona, E. F. López. Ecuaciones diferenciales. Quinta edición. Pearson, 2011.

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