Ecuación diferencial que resuelve un circuito RC: Solución de un problema modelo de los circuitos RC
Un circuito RC tiene una fem de 200 cos 2t (en voltios), una resistencia de 50 ohmios y una capacitancia de \(10^{-2}\) faradios. En t = 0 no hay carga en el condensador. Hallar la corriente en el circuito en un tiempo t.
Solución: La ecuación diferencial que describe la carga ( q(t) ) en el circuito RC es:
\(\frac{dq}{dt} + \frac{1}{RC} q = \frac{E}{R}, \quad \text{además} \quad I = \frac{dq}{dt}\)
Donde
Los datos de la ecuación son:
- Resistencia (R): 50 ohmios
- Capacitancia (C):\( 10^{-2}\)faradios
- Fem (E(t)): 200cos2t voltios
Sustituyendo los valores correspondientes obtenemos la ecuación diferencial lineal de primer orden no homogénea.
\[ \frac{dq}{dt} + 2q = 4 \cos(2t) \]
Paso 1: Identificar la forma estándar
La ecuación diferencial está en la forma estándar:
\[ \frac{dq}{dt} + P(t)q = Q(t) \]
donde \( P(t) = 2 \quad y \quad Q(t) = 4 \cos(2t) \).
Paso 2: Calcular el factor integrante
El factor integrante (FI) se calcula como:
\[ FI = e^{\int P(t) dt} \]
En este caso:
\[ FI = e^{\int 2 dt} = e^{2t} \]
Paso 3: Multiplicar la ecuación diferencial por el factor integrante
Multiplicamos toda la ecuación diferencial por \( e^{2t} \):
\[ e^{2t} \left( \frac{dq}{dt} + 2q \right) = e^{2t} \cdot 4 \cos(2t) \]
\[ e^{2t} \frac{dq}{dt} + 2e^{2t} q = 4e^{2t} \cos(2t) \]
Paso 4: Reescribimos el miembro izquierdo de la ecuación como la derivada del producto
El lado izquierdo de la ecuación es la derivada del producto de \(( e^{2t} ) \text{ y} \ ( q )\):
\[ \frac{d}{dt} (e^{2t} q) = 4e^{2t} \cos(2t) \]
Paso 5: Integrar ambos lados
Integramos ambos lados con respecto a ( t ):
\[ \int \frac{d}{dt} (e^{2t} q) dt = \int 4e^{2t} \cos(2t) dt \]
\[ e^{2t} q = 4 \int e^{2t} \cos(2t) dt \]
\[ e^{2t} q = 4 \left( \frac{1}{4} e^{2t} (\cos(2t) + \sin(2t)) \right) + C \]
\[ e^{2t} q = e^{2t} (\cos(2t) + \sin(2t)) + C \]
Paso 6: Despejar ( q )
Dividimos ambos lados por \( e^{2t} \):
\[ q = \cos(2t) + \sin(2t) + Ce^{-2t} \]
Esta es la solución general de la ecuación diferencial.
Paso 7: Aplicar la condición inicial ( q(0) = 0 ):
\[ 0 = \cos(0) + \sin(0) + Ce^{0} \]
\[ 0 = 1 + 0 + C \]
\[ C = -1 \]
Paso 8. Solución para ( q(t) ):
\[ q(t) = \cos(2t) + \sin(2t) - e^{-2t} \]
15. Calcular la corriente ( i(t) ):
La corriente es la derivada de la carga con respecto al tiempo:
\[ i(t) = \frac{dq}{dt} \]
\[ i(t) = \frac{d}{dt} (\cos(2t) + \sin(2t) - e^{-2t}) \]
\[ i(t) = -2\sin(2t) + 2\cos(2t) + 2e^{-2t} \]
Solución final:
La corriente en el circuito en un tiempo ( t ) es:
\[ i(t) = 2(\cos(2t) - \sin(2t) + e^{-2t}) \]
La solución de la integral la detallamos a continuación
Para resolver la integral \( \int e^{2t} \cos(2t) dt \), usamos integración por partes dos veces:
Sea \( u = \cos(2t) \quad y \quad dv = e^{2t} dt \).
Entonces \( du = -2 \sin(2t) dt ) \quad y \quad v = \frac{1}{2} e^{2t} \).
\[ \int e^{2t} \cos(2t) dt = \frac{1}{2} e^{2t} \cos(2t) - \int \frac{1}{2} e^{2t} (-2 \sin(2t)) dt \]
\[ = \frac{1}{2} e^{2t} \cos(2t) + \int e^{2t} \sin(2t) dt \]
Ahora, para \( \int e^{2t} \sin(2t) dt \),
sea \( u = \sin(2t) \) y \( dv = e^{2t} dt \).
Entonces \( du = 2 \cos(2t) dt \) y \( v = \frac{1}{2} e^{2t} \).
\[ \int e^{2t} \sin(2t) dt = \frac{1}{2} e^{2t} \sin(2t) - \int \frac{1}{2} e^{2t} (2 \cos(2t)) dt \]
\[ = \frac{1}{2} e^{2t} \sin(2t) - \int e^{2t} \cos(2t) dt \]
Sustituyendo esto de nuevo en la primera para luego despejar la integral que andamos buscando:
\[ \int e^{2t} \cos(2t) dt = \frac{1}{2} e^{2t} \cos(2t) + \frac{1}{2} e^{2t} \sin(2t) - \int e^{2t} \cos(2t) dt \]
\[ 2 \int e^{2t} \cos(2t) dt = \frac{1}{2} e^{2t} (\cos(2t) + \sin(2t)) \]
\[ \int e^{2t} \cos(2t) dt = \frac{1}{4} e^{2t} (\cos(2t) + \sin(2t)) \]
Bibliografía:
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